2021年埼玉県－４

解答

（１）解説参照

（２）$BE=3 cm$

（３）$\frac{6}{5} cm^2$

解説・解き方の例

（１）

相似の要点だけ紹介します。

$\triangle ABC$と$\triangle ACD$において、

• $\angle BAC=\angle DAC$
• $\angle ABC=\angle ACD$

よって$\triangle ABC ∽ \triangle ACD$（二角相等）

（２）

この図形問題の特徴は「角の二等分線」という点にあります。 その性質の中でもこの問題では特に次の図の性質を使います。

性質：上の図で、$\triangle ABC$で$\angle BAC$の二等分線があるとき、$a:b=c:d$となる。

---

ここで、元の図に戻ります。

解く手順としては次のようになります。

1. 相似を使って、$DB$を求める。
2. 角の二等分線の性質を使って、$BE$を求める。

１：相似を使って$DB$を求める

$\triangle ABC ∽ \triangle ACD$より、対応する辺の比から$\triangle ABC$と$\triangle ACD$ の相似比は$AC:AD=6:4=3:2$である。よって、対応する辺である$AB$と$AC$の比も相似比に等しいので、 $$AB:AC=3:2$$ より、 $$AB:6=3:2$$ となるので、$$AB=9$$ である。 よって、$DB=AB-AD=9-4=5$となる。

２：角の二等分線の性質を使って、$BE$を求める

次に、上の角の二等分線の性質を使うと、$CE$が$\angle BCD$の二等分線になっているので、 $$CB:CD=BE:ED$$ となる。$CB:CD$は、$\triangle ABC$と$\triangle ACD$の対応する辺なので、 相似比$3:2$に等しい。よって、 $$CB:CD=3:2=BE:ED$$ となる。 よって、$BD=\frac{3}{5}\times BD=3 cm$となる。

（３）は次のページへ

問題

図のように$\triangle ABC$の辺$AB$上に、$\angle ABC= \angle ACD$となる点$D$をとります。

また、$\angle BCD$ の二等分線と辺$AB$との交点を$E$とします。$AD=4cm,AC=6cm$であるとき、次の各問いに答えなさい。

（１）$\triangle ABC$と$\triangle ACD$が相似であることを証明しなさい。

（２）$BE$の長さを求めなさい。

図のように,$\angle BAC$の二等分線と辺$BC$との交点を$F$,線分$AF$と線分$EC$との交点を$G$とします。

（３）$\triangle ABC$の面積が$18 cm^2$であるとき、$\triangle GFC$の面積を求めなさい。