$$ \frac{a+b}{2}=\frac{b+c}{3}=\frac{c+a}{4} = k $$ とおく。これから、次の3つの式を得ることができる。
$$ \left\{ \begin{align} &a+b=2k&・・・（１）\\ &b+c=3k&・・・（２）\\ &c+a=4k&・・・（３） \end{align} \right. $$ これらを解いて、$a,b,c$ それぞれを$k$ を用いて表す。
（２）－（１）より、$c-a=k ・・・（４）$
（３）＋（４）より、$2c=5k$より、$c=\frac{5}{2}k$
よって、（２）より$b=\frac{1}{2}k$ となり、（３）より$a=\frac{3}{2}k$ となる。
新たに、$k'=\frac{k}{2}$ とおくと、 $$ \begin{align} &a=3k'\\ &b=k'\\ &c=5k' \end{align} $$ となるので、これを $\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$ へ代入すると、
$$ \begin{align} &\frac{k'}{3k'}+\frac{5k'}{k'}+\frac{3k'}{5k'}\\ &=\frac{1}{3}+5+\frac{3}{5}\\ &=\frac{5 + 75 + 9}{15}\\ &=\frac{89}{15} \end{align} $$