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$\frac{17}{30}$
計算問題の小問集の確率の問題でも紹介したが、とにかくこういった問題は表を書いてみるのがわかりやすい。 この方法は次のように入学試験向きだと思います。
では、表を書いてみます。表内の数字は最大公約数です。
| 袋B | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $b$→ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| $3b$→ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | |
| 袋 A $a$ → |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | |
これで一目了然。赤いマスの数は17なので、確率は$\frac{17}{30}$となる。
ポイントは、$a=5,b=5$のときが最大公約数が１にならないということを間違えないかどうかということです。
１，２，３，４，５の数字が１つずつ書かれた同じ大きさの５枚のカードが入っている袋Aと、 １，２，３，４，５，６の数字が１つずつ書かれた同じ大きさの６枚のカードが入っている袋Bがある。
２つの袋A,Bから同時にそれぞれ１枚のカードを取り出し、袋Aから取り出したカードに書かれた数を$a$、 袋Bから取り出したカードに書かれた数を$b$とするとき、$a$と$3b$の最大公約数が1となる確率を求めよ。
ただし、2つの袋A,Bそれぞれにおいて、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。