2021年東京都

解答

問１:５本

問２：$\frac{96}{5}cm^3$

解説・解き方の例

問１

「ねじれ」は『平行でなく、同じ平面にない２直線の位置関係』であるが、簡単に言えば『平行ではない２直線のうち、いくら伸ばしても交わらないもの』である。

ねじれの関係にある辺は$AB,AC,AD,DE,DF$の５本である。

問２

このような一見複雑な形の図形の体積の求め方は、大体、①直接求める、②いくつかの体積を組み合わせる、③大きな図形から余分な体積を引く、という３つの方法のうちのどれかである。

この図形の場合は、問題文で「立体$D-BPFQ$」と書いてあり、実はこれが大きなヒントになっている。

つまり、$D$を頂点として$BPFQ$を底面とする四角すいとして体積を求めればよい、というヒントをくれているのである。

まず、底面$BPFQ$の面積を求める。

底面$BPFQ$は描いてみると図のように実は単純な平行四辺形である。 面積は、$4 \times 6 = 24 cm^2$である。

次にこの四角すいの高さであるが、これは、次の図の$AG$の長さと同じである。

この長さは、直角三角形の面積を二つの方法で表して求めると良い。

$AB$を底辺、$AC$を高さとすると、面積＝$4 \times 3 \times \frac{1}{2}=6 cm^2$

$AG=x$とおいて、$BC$を底辺に、$AG$を高さと考えると、面積＝$5 \times x \times \frac{1}{2}=\frac{5x}{2}$となる。

これらが同じものなので等号で結ぶと、

$$\frac{5x}{2}=6$$ $$x=\frac{12}{5} cm$$

となる。これが四角すいの高さである。 （下にある『豆知識」参照）

よって、四角すいの体積は、

$$24 \times \frac{12}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{96}{5} cm^3$$ となる。

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豆知識

下図のような直角三角形の３辺がx,y,wのとき、Aからおろした垂線の高さは $$u=\frac{x \times y}{w}$$ となる。

問題

図１

図に示した立体ABC-DEFは、$AB=4cm,$ $AC=3cm,$ $BC=5cm,$ $AD=6cm,$ $\angle BAC=\angle BAD=$ $\angle CAD = 90°$の三角柱である。

辺$BC$上にあり、頂点$B$に一致しない点を$P$とする。

点$Q$は、辺$EF$上にある点で、$BP=FQ$である。

問１：$BP=2cm$のとき、点$P$と点$Q$を結んでできる直線$PQ$とねじれの位置にある辺は全部で何本あるか。

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問２：頂点$B$と頂点$D$、頂点$B$と頂点$Q$、頂点$D$と点$P$、頂点$D$と点$Q$、頂点$F$と点$P$をそれぞれ結んだ場合を表している。 $BP=4cm$のとき、立体$D-BPFQ$の体積を求めなさい。