2021年群馬県

解答

（１）は解説参照（２）$\frac{25}{6}cm$

解説・解き方の例

［１］（１）は都道府県発表の模範解答に載っている解答です

［証明例］
$\triangle AEC$と$\triangle DCB$について弧$BC$に対する円周角は等しいので $$\angle EAC = \angle CDB　…①$$ 弧$CD$に対する円周角は等しいので $$\angle DBC = \angle DAC …②$$ $AD$と$EC$は平行であり、平行線の錯角は等しいので $$\angle DAC = \angle ACE …③$$ $②,③$より $$\angle ACE = \angle DBC …④$$ $①,④$より、2組の角がそれぞれ等しいので $$\triangle AEC ∽ \triangle DCB$$

［２］（２）の方針

まず、ABとCDの交点Fは次の図のようになる。

この中のFDの長さを求めるのだが、次のような方針で考えると良い。

1. （１）の相似をどのように使うか。
2. $AE=4cm,BC=5cm,EC=6cm$から$FD$の長さへとどのようにつなげるか。
3. $\angle ACD=\angle CBD$は何のための条件か。

［３］（１）の相似を利用する＆長さを利用する

（１）の相似と長さを利用して$DC$の長さを求める。

$\triangle AEC$と$\triangle DCB$の相似比は、$EC:CB$に等しいので、$6:5$である。

したがって、$AE:EC=DC:CB$より$4:6=DC:5$となり、$DC=\frac{10}{3}$となる。

［４］角度の条件を使う

最後に$\angle ACD=\angle CBD$という条件があるが、これは何に使うか？

$\angle ACD$は弧$AD$に対する円周角であり、$\angle CBD$は弧$CD$に対する円周角なので、 円周角が等しいということは弧$AD$=弧$CD$ということ、つまり、$AD=CD$ということになる。

ここまでを整理すると次のようになる。

［５］仕上げ

最後の仕上げは、$\triangle FAD∽ \triangle FEC$を利用して$FD$を求めることである。

（$AD$と$EC$が平行なので、$\triangle FAD∽ \triangle FEC$は簡単に証明できるのでここでは省略）

相似比の比較から$FD:AD=FC:EC$より、$FD=x$とおいて、 $$x:\frac{10}{3}=(x+\frac{10}{3}):6$$ となる。これを解く。 $$6x=\frac{10}{3} \times (x+\frac{10}{3})$$ $$6x=\frac{10}{3}x+\frac{100}{9}$$ $$\frac{18-10}{3}x=\frac{100}{9}$$ $$\frac{8}{3}x=\frac{100}{9}$$ $$x=\frac{100}{9}\times \frac{3}{8}=\frac{25}{6}$$ よって、$FD=\frac{25}{6} cm$となる。

問題 問題

図で、点ABCDは円Oの周上にあり、点Eは直線AB上の上の点で、ADとECは平行である。

（１）△AECと△DCBが相似であることを証明しなさい。

（２）$AE=4cm,BC=5cm,EC=6cm,$$\angle ACD=\angle CBD$とする。直線ABと直線CDの交点をFとしたとき、FDの長さを求めなさい。