2021年神奈川県

解答

AD=3cm

解説・解き方の例 以下は解き方の一例です。もちろん他の解き方もありますので、自分に合った解き方で解いてください。

（１）方針

三角形DEFの一辺の長さはわからない（高校で習う方法を使えばわかるが・・・）。 したがって、辺の長さから三角形DEFの面積と三角形ABCの面積を比べることは難しい。 そこで、三角形ABCの中の三角形DEF以外の部分の面積が全体の$\frac{5}{12}$であると考えてみる。 つまり、 $$△ABC：（△ADF＋△BED+△CFE）=\\ 12:(12-7)=12:5$$ ということを利用して解くことにする。

（２）計算式の確認

始める前に、次の図のような面積の比率の計算式を確認しておく。

以下では、この計算式を使う。

（３）△ADFの面積の割合を求める

では、先程の計算式を使って、実際に△ABCと△ADFの比を求めてみる。

次の図のように、$AD=x cm$とする。$AD=BE=CF$より、$CF=x cm$となる。

よって、$AF=18-x cm$である。したがって、

$$\triangle ABC:\triangle ADF=AB \times AC : AD \times AF\\ =18 \times 18:x\times(18-x)$$

（４）△BEDと△CFE

△BEDと△CFEも△ADFと同じ面積なので、△ADFと△BEDと△CFEの和は△ADF３つ分なので、 $$\triangle ABC : \triangle ADF+\triangle BED+\triangle CFE =\\ 18 \times 18 : 3 \times x \times (18-x)$$ となる。

（５）比率が12:5

$$\triangle ABC : \triangle ADF+\triangle BED+\triangle CFE=12:5$$ なのだから $$18 \times 18 : 3 \times x \times (18-x) = 12:5$$ という式が成立する。これを解くと、 $$324 : 3x(18-x)=12:5$$より、 $$324 \times 5 = 12 \times 3x(18-x)$$となるので、 数字が大きいので両辺を36で割ると、 $$45 = x(18-x)$$ となり、移項してまとめると次のようになる。 $$x^2 - 18x + 45 = 0$$これを因数分解すると、 $$(x-3)(x-15)=0$$より、 $x=3,15$となる。問題に$AD\lt BD$とあるので、$AD=x=3$が答えとなる。

問題

図で、正三角形ABCの辺AB上に点Dを、辺BC上に点Eを、辺CA上に点Fを、AD=BE=CFとなるようにとる。

AB=18cmで、AD<BDとする。三角形ABCの面積と三角形DEFの面積の比が12:7であるとき、線分ADの長さを求めなさい。

※この問題の小問１で三角形ADFと三角形CFEが合同であることを証明する問がありますが、それは省略しています。