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-高校入試スタディスタイル-

2021年都立西高校－１－問５

解答

解説参照

解説・解き方の例

$a:b=1:23$にするということは、$360 \div 24=15$より、次の図のように$15°$の場所に点$P$を昨図したいということである。

定規とコンパスを用いた作図でよく使うのは、次の二つであろう。

• 垂直二等分線
• 角の二等分線

これらの方法を使ってどのように角度を作れるかあげてみる。

• 90°：垂直二等分線で作る
• 60°：正三角形を描く
• 45°：90°の角の二等分線で作る
• 30°：60°の角の二等分線で作る
• 15°：30°の角の二等分線で作る

ここでは、方法を２つ紹介する。（１つは学校発表の模範解答）

方法１

正三角形から60°を作って、半分、半分にして15°にする。

1. 円の中心を求める
2. 正三角形を作る要領で60°を作る。
3. 角の二等分線で半分の30°にする。
4. もう一度角の二等分線によって15°にする。

１：円の中心を求める

$AB$の垂直二等分線を描いて中心$O$を求める。

２：正三角形を作る要領で60°を作る

これは、下図のように、$B$から円の半径と同じ半径で円弧を描いて交点を求めて中心と結ぶ。

あとは、角の2等分線を2回行えばよい（省略）。

方法２

これは模範解答に載っている解法である。こちらのほうが少し手間が少ない。

1. 円の中心を求めるとともに、90°を描く
2. 直角側から正三角形を作って60°を作り、 90°-60°=30°ということで30°を作る。
3. もう一度角の二等分線によって15°にする。

$AB$の垂直二等分線を描いて中心$O$を求める。ここまでは同じ。

２：直角側から正三角形を作って30°を作る

図のような点を$C$としたとき、Cの側から円と同じ半径で円弧を描くと点$D$ができ、$\angle DOB=15°$となる。 この方法のほうが賢いやり方である。あとは1回二等分線を描けばよい（省略）。

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方法１でも誤りではないので、いろいろな角度を作れるように練習しておくことが大事である。

問題

上図で、点$P$は線分$AB$を直径とする円の周上にあり、 点$A$を含まない$\overarc{BP}$の長さを$a cm$、点$A$を含む$\overarc{BP}$の長さを$b cm$としたとき、 $a:b=1:23$をみたす点である。

下の図を元にして、$a:b=1:23$となる点$P$を直径$AB$より上側に定規とコンパスを用いて作図し、 点$P$の位置を示す文字$P$も書け。ただし、昨図に用いた線は消さないでおくこと。

（※当サイト注：下の図が解答用紙に描いてあり、その上に$P$を作図する、という意味です。）