2021年都立西高校－１－問４

解答

$52°$

解説・解き方の例

・基本事項

まず、円に三角形や四角形などが描かれている角度問題での基本事項をあげてみます。

• 円周角は等しい
• 中心角は円周角の2倍
• 直径の円周角は90°
• 円に内接する四角形の対角の和は180°
• 接弦定理

などでしょうか。これらを頭において解いてみます。

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方針：まず、$x$をどのように求めるか？を考えてみる。

たとえば、次のようなものが思い浮かぶ。

• 円周角より$x=\angle DEB$なので、$EB$を線で結んで$\angle DEB$を求める。
• $\angle CAB$から$\angle CAD$を引いて、$x$を求める。
• $DB$を結んで三角形を作り、$x$以外の角度を求めてから$x$を求める。

さらに、この問題の意図を、設定から裏読み？してみる。（これは重要！） つまり「この問題で、いちばん重要な（不自然な）設定は何か？」という点である。

• $AOB$はともかく、$COE$が直径というのは解く上でとても重要であろう。
• 点$B$が$AOB$以外に利用されていないのは不自然。

これくらいだろうか。これらの2点は両方「円の直径」に絡んでいる。 「円の直径」といえば上にもあげた「直径の円周角は90°」というのがあるので、まずは、90°の円周角が出てくるように補助線を引いてみる。

上の図のように青と緑の線が引かれ、それぞれ円周角が直角になっているのがわかる。

すると、この図から$x$を求めるには$\triangle ABD$の中の$\angle ABD$を求めればよいというのがわかってくる。

$\angle ABD$を求める

方針だけでかなり進んでしまったが、最後に$\angle ABD$を求めてみる。

先程の直角の円周角の際に使った線（$CD$と$DB$）を改めて引いてみる。

もう、答えは出ているようなものだが、図の中の★と同じ角度がどこにあるかわかるだろうか？

上の図で、紫色の四角形に注目すると、この四角形は円に内接しているので、対角の和は180°である。

したがって、$\angle ABD=\angle FCD$となる。（★と■は等しいということ）

先程の直角の円周角で、$\angle CDE=90°$より、$\angle CDF=90°$なので、$■=★=180°-52°-90°=38°$である。

よって、$x=180°-\angle ADB-\angle ABD\\=180°-90°-38°=52°$となる。

実は、$\triangle CFD$と$\triangle BAD$は相似なのであった。（この相似を証明する形で、$x=\angle F$としてもよい。）

問題

図で、点$O$は、線分$AB$を直径とする円の中心であり、３点$C,D,E$は円$O$の円周上にある点である。

5点$A,B,C,D,E$は、図のように$A,C,D,B,E$の順に並んでおり、互いに一致せず、3点$C,O,E$は一直線上にある。

線分$AC$を$C$の方に延ばした直線と線分$ED$を$D$の方向に延ばした直線との交点を$F$とする。

点$A$と点$D$,点$C$と点$E$をそれぞれ結ぶ。$\angle AFE=52°, \angle CEF=18°$のとき、$x$で示した$\angle BAD$の大きさは何度か。