まず、$x+y$ と、$xy$ の値を求めておく。 $$ x+y=2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} = 4\\ xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3=1\\ $$
次に、式を変形する。 $$ \begin{align} &(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\\ &=(\frac{x+1}{x})(\frac{y+1}{y})\\ &=\frac{(x+1)(y+1)}{xy}\\ &=\frac{(xy+(x+y)+1)}{xy} \end{align} $$
ここに、最初に求めた $x+y$ と $xy$ を代入する。 $$ \begin{align} &\frac{(xy+(x+y)+1)}{xy}\\ &=\frac{1 + 4 + 1 } {1}\\ &=6 \end{align} $$