$$ \begin{align} &\sqrt{330-6n}\\ &=\sqrt{6(55-n)}\\ &=\sqrt{2 \times 3 \times (55-n)} \end{align} $$
ルートの中が2乗になるためには、 $(55-n) = 2\times 3 \times x^2$ の形にならなくてはならない。
また、$n$ は正の整数なので、$2\times 3 \times x^2 < 55$ である。
$x$に1から当てはめていくと次のようになる。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $2 \times 3 \times x^2$ $=(55-n)$ | 6 | 24 | 54 | x | ... | |
| $2\times 3\times (2 \times 3 \times x^2)$ | 36 | 144 | 324 | x | ... | ← $330-6n$ の値 |
| $\sqrt{2\times 3\times (2 \times 3 \times x^2)}$ | 6 | 12 | 18 | x | ... | ← $\sqrt{330-6n}$ の値 |
| $55-n$ | 6 | 24 | 54 | x | ... | |
| $n$ | 49 | 31 | 1 | x | ... |
よって、$n=49,31,1$である。