ある整数 $x$ の約数を $a_1,a_2,a_3, \cdots , a_n$ とすると、 $$a_1 \times a_n = a_2 \times a_{n-1} = a_3 \times a_{n-2} = \cdots = x$$ である。
よって、約数の逆数の和は $$ \begin{align} &\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n}\\ &=\frac{a_n}{x} + \frac{a_{n-1}}{x} + \frac{a_{n-2}}{x} + \cdots \frac{a_1}{x}\\ &=\frac{a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_1}{x}\\ &=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n}{x} \end{align} $$ つまり、約数の逆数の和は、分母が $x$ 、分子が約数の和である分数に等しい。
この問題では、整数を$x$ と置くと、約数の和が72、約数の逆数の和が $\frac{12}{5}$ なので、 $$ \frac{72}{x} = \frac{12}{5} $$ ということになる。よって、 $$ x = 72 \times \frac{5}{12} = 30 $$