$5-\frac{78}{n}$ が自然数になるには、 $\frac{78}{n}$ が自然数にならなくてはならない。つまり、 $n$ は$78$の約数である。よって、$n=1,2,3,6,13,26,39,78$ のどれかである。
このとき、$\frac{78}{n}$ の値はそれぞれ、$$\frac{78}{n} = 78,39,26,13,6,3,2,1$$となる。
$5-\frac{78}{n}$ の値が自然数であるには、$\frac{78}{n}$ が$5$未満でなくてはならないので、$\frac{78}{n}$ の値として可能なのは$$\frac{78}{n} = 3,2,1$$である。
そして、$5-\frac{78}{n}$ の値が最も小さくなるのは、$\frac{78}{n}=3$ のときである。このとき、$n=26$ である。