※解の公式を使って解く方法
まず、元の式の両辺を9倍して係数を整数にして計算しやすくする。$$\begin{align}& x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{4}{9} = 0\\&9x^2 - 6x - 4 = 0\end{align}$$これを解くと$$\begin{align}x&=\frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 9 \times 4}}{9} \\&=\frac{3 \pm \sqrt{45}}{9}\\&=\frac{3 \pm 3\sqrt{5}}{9}\\&=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{3}\end{align}$$となる。
※平方完成を使って解く方法もある。慣れないと難しいが、できるようにしておくとよい。
\begin{align}&x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{4}{9} = 0\\&\left(x^2-\frac{2}{3}x\right) - \frac{4}{9} = 0\\&\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} = 0\\&\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} - \frac{4}{9} = 0\\&\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{5}{9} = 0\\&\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}\\&x-\frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}}\\&x-\frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\\&x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{3}\end{align}