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高校入試数学

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2021年東京都
問題

図1

図1で、四角形$ABCD$は$AB \gt AD$の長方形であり、点$O$は、線分$AC$を直径とする円の中心である。

点$P$は頂点$A$を含まない弧CD上にある点で、頂点$C$、頂点$D$のいずれにも一致しない。

頂点$A$と点$P$、頂点$B$と点$P$をそれぞれ結ぶ。このとき次の問に答えなさい。

問1:$\angle ABP=a°$とするとき、$\angle PAC$の大きさを表す式を書きなさい。(実際の問題では選択問題である)


問2:次の図2は、図1において、辺$CD$と線分$AP$との交点を$Q$、辺$CD$と線分$BP$との交点を$R$とし、$AB=AP$の場合を表している。

図2

①$\triangle QRP$は二等辺三角形であることを証明せよ。

②頂点$C$と点$P$を結んだ場合を考える。$AB=16 cm, AD=8 cm$のとき、$\triangle PRC$の面積を求めなさい。