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-高校入試スタディスタイル-

高校入試数学14

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2021年京都府-5
問題

点$O$を中心とする球を、点$O$を通る平面で切ってできる半球の形をした容器Xがあり、 I図のように、切り口を水平に保って満水にしてある。 この切り口を円$O$とすると、円$O$の周の長さは$12\pi$であった。

また、II図のように、$AD$と$BC$が平行の台形$ABCD$があり、$AD:BC=3:1,CD=12 cm,$ $\angle ADC=90°$である。台形$ABCD$を、直線$CD$を回転の軸として1回転させてできる 立体の形をした容器Yがあり、空の容器Yを、$BC$を半径とする円$C$が底になるように水平な台の上に置く。

III図のように、容器Yに、容器Xに入っている水を残らず注ぐと、容器の底から水面までの高さは$9 cm$になった。 水面と線分$AB$、線分$CD$との交点をそれぞれ$E,F$とする。

(1)円$O$の半径を求めよ。また、I図において、容器Xに入っている水の体積を求めよ。

(2)$AD:EF$をもっとも簡単な整数の比で表わせ。

(3)容器Yの容積を求めよ。