2021年埼玉県－２（２）

解答

$54 cm^2$

解説・解き方の例

（１）方針

求めるのは下図の赤い三角形の面積である。

$A$の座標はわかっているので、あとは、$OC$の長さが求まれば面積は求めることができる。 そのためには、$C$の座標、つまり直線$\ell$の式が分かればよいので、これを求める。

（２）$\ell$の式を求める

下の図から、$\ell$の式を求める。（$\ell$と$y$軸の交点を$D$とする）

①$y=ax+b$とおいて求める方法

$\ell$を$y=ax+b$とおく。$A(-3,18),B(2,8)$を通るので、それぞれ代入した式をたてる。

$$ \begin{matrix} 18 & =& -3a+b\\ 8 & =& 2a+b \end{matrix} $$

これを解いて、$a=-2, b=12$より、 $$y=-2x+12$$ と求まる。

②特別な公式を使う方法

$y=ax^2$と直線$\ell$が$x=\alpha , \beta$の点で交わっているとき、 直線$\ell$の式は次のようになる、 $$y=a(\alpha+\beta)x-a\alpha\beta$$ このような有名な公式？があるので、これを使ってみる。 問題文より、$a=2, \alpha=-3, \beta=2$なので、 $$y=2(-3+2)x-2\times (-3) \times 2\\=-2x+12$$ と一発で求められる。

基本は①の方法で求め、②の方法で確認する、といった使い方でもいいでしょう。

（３）$OC$を求める

$\ell$の式がわかったので、$C$の座標を求める。

$y=-2x+12$に$y=0$を代入すると、$x=6$となる。よって、$OC=6$である。

（４）三角形の面積

$\triangle AOC$の面積は、$6 \times 18 \div 2 = 54 cm^2$となる。

問題

図で、曲線は関数$y=2x^2$のグラフです。 曲線上に$x$座標が$-3,2$である２点$A,B$をとり、この２点を通る直線$\ell$をひきます。 直線$l$と$x$軸との交点を$c$とするとき、$\triangle AOC$の面積を求めなさい。

ただし、座標軸の単位の長さを$1cm$とします。